Dalsze własności transformaty Fouriera

Przykład 1:

Znaleźć transformatę Fouriera gęstości rozkładu Gaussa

\( \hskip 0.3pc f(x)= \dfrac 1{\sqrt{2\sigma }}e^{-\dfrac{x^2}{4\sigma }}.\hskip 0.3pc \)

Różniczkując funkcje \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) mamy

\( f^\prime (x)= \dfrac 1{\sqrt{2\sigma }}\Big(-\dfrac{2x}{4\sigma } \Big)e^{-\dfrac{x^2}{4\sigma }}= -\dfrac 1{2\sigma }x\,f(x). \)

Obkładając obie strony transformacją Fouriera i wykorzystując własności (v) i (vi) transformaty Fouriera z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-1 :

\( {\cal F}\big(f^\prime (x)\big)(y)= iy\hat f(y),\qquad {\cal F}\big(x\,f(x)\big)(y)= i\hat f^\prime (y), \)

otrzymamy

\( iy\hat f(y)= -\dfrac 1{2\sigma}i\,\hat f^\prime (y). \)

Stąd

\( \hat f^\prime (y)= -2\sigma y\,\hat f(y). \)

Rozwiązując ostatnie równanie różniczkowe otrzymamy

\( \hat f(y)=Ce^{-\sigma y^2}. \)

Stąd i wzoru 1 z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-( 1 ) dostajemy

\( C=\hat f(0) = \dfrac 1{\sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{\sqrt{2\sigma }}e^{-\dfrac{x^2}{4\sigma }}\,dx. \)

Podstawiając do całki po prawej stronie \( \hskip 0.3pc \tau =x/(2\sqrt {\sigma })\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( C = \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\,\dfrac 1{\sqrt{2\sigma }} \,2\sqrt{\sigma} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\tau ^2}d\tau = \dfrac 1{\sqrt{\pi}}\,\sqrt{\pi}=1. \)

Zatem

(1)

\( {\cal F}\Bigg(\dfrac 1{\sqrt{2\sigma }}e^{-\dfrac{x^2}{4\sigma }}\Bigg)(y)= e^{-\sigma y^2}. \)

Z (1) i własności (i) z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-1 uwzględniając podstawienie \( \hskip 0.3pc t=\dfrac {x}{2\sigma}\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( e^{-\sigma y^2}=\sqrt{2\sigma}\,{\cal F}\big(e^{-\sigma t^2 }\big)(2\sigma y). \)

Stąd po podstawieniu

\( y=\dfrac {z}{2\sigma} \)

dostaniemy

(2)

\( {\cal F}\big(e^{-\sigma t^2}\big)(z)=\dfrac 1{\sqrt{2\sigma }}e^{-\dfrac{z^2}{4\sigma }}. \)

Twierdzenie 1: Plancherel

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R )\cap L^2(\mathbb R ).\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wówczas \( \hskip 0.3pc \hat f\in L^2(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) i ponadto

\( \|\hat f\|_{L^2}=\|f\|_{L^2}. \)

DOWÓD:

Zauważmy najpierw, że dla \( \hskip 0.3pc f,g \in L^1(\mathbb R ),\hskip 0.3pc \)

(3)

\( \displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\hat g(x)dx =\displaystyle\int_{\mathbb R}\hat f(x) g(x)dx. \)

Istotnie, na mocy twierdzenia Tonelli i twierdzenia Fubiniego mamy

\( \begin{aligned}\displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\hat g(x)dx =&\displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\bigg( \tfrac 1{\sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-ixy} g(y)dy\bigg)dx= \tfrac 1{\sqrt{2\pi}}\iint_{\mathbb R\times\mathbb R}e^{-ixy} f(x)g(y)dxdy=\\=& \displaystyle\int_{\mathbb R}g(y)\bigg(\tfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-ixy} f(x)dx\bigg)dy= \displaystyle\int_{\mathbb R}\hat f(y) g(y)dy. \end{aligned} \)

Dla \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( f_{ \varepsilon}(x)= e^{-\varepsilon x^2}. \)

Zgodnie z wzorem ( 2 )

\( \hat f_{ \varepsilon}(y)= \dfrac 1{\sqrt{2\varepsilon }}e^{-\dfrac{y^2}{4\varepsilon}}. \)

Podstawiając do wzoru ( 3 ) funkcje \( \hskip 0.3pc f_{\varepsilon} \hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) otrzymamy

(4)

\( \displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-\varepsilon x^2}\hat g(x)dx =\dfrac 1{\sqrt{2\varepsilon }}\displaystyle\int_{\mathbb R} g(x)e^{-\dfrac{x^2}{4\varepsilon}}dx . \)

Połóżmy teraz

\( h(x)=f(-x) \)

oraz

\( g=f*h. \)

Na mocy własności (vii) z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-1

\( \hat g= \sqrt{2\pi}\hat f\,\hat h, \)

a na mocy własności (i), (ii) z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-1 oraz definicji funkcji \( \hskip 0.3pc h\hskip 0.3pc \)

\( \hat h(y)= \hat f(-y)=\overline{\hat f(y)}. \)

Stąd

(5)

\( \hat g= \sqrt{2\pi}\hat f\,\overline{\hat f} =\sqrt{2\pi}|\hat f|^2. \)

Podstawiając \( \hskip 0.3pc x=2\sqrt{\varepsilon }t\hskip 0.3pc \) do całki po prawej stronie wzoru ( 4 ) otrzymamy

\( \begin{aligned}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-\varepsilon x^2}\hat g(x)dx =&\dfrac 1{\sqrt{2\varepsilon }}\,2\sqrt{\epsilon} \displaystyle\int_{\mathbb R}g(2\sqrt{\varepsilon}t)e^{-t^2}dt\,=\sqrt 2 \displaystyle\int_{\mathbb R}g(0)e^{-t^2}dt\, +\sqrt 2\displaystyle\int_{\mathbb R}\big(g(2\sqrt{\varepsilon}t)-g(0)\big)e^{-t^2}dt\,=\\=& \sqrt{2\pi}g(0)\,+\, \sqrt 2\displaystyle\int_{\mathbb R}\big(g(2\sqrt{\varepsilon}t)-g(0)\big)e^{-t^2}dt.\end{aligned} \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą, przechodząc z \( \hskip 0.3pc \varepsilon \hskip 0.3pc \) do zera dostajemy równość

\( \displaystyle\int_{\mathbb R}\hat g(x)dx= \sqrt {2\pi}g(0). \)

Wynika stąd, że funkcja \( \hskip 0.3pc \hat g\hskip 0.3pc \) jest całkowalna, a w konsekwencji wobec ( 5 ), \( \hskip 0.3pc \hat f \in L^2(\mathbb R ).\hskip 0.3pc \)

Uwzględniając następnie w ostatniej równości relacje ( 5 ) mamy

\( \sqrt {2\pi}\displaystyle\int_{\mathbb R}|\hat f(x)|^2 dx= \sqrt {2\pi}g(0). \)

Zatem

\( \begin{aligned}\|\hat f\|^2_{L^2}=&\displaystyle\int_{\mathbb R}|\hat f(y)|^2dy =g(0)=(f*h ) (0)=\displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)h(0-x)dx=\\=&\displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\,f(x) dx= \displaystyle\int_{\mathbb R}|f(x)|^2dx=\|f\|^2_{L^2},\end{aligned} \)

co kończy dowód.

Uwaga 1:

Twierdzenie Plancherel jest prawdziwe jeśli w miejsce \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) wstawimy \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\hskip 0.3pc \). Dowód biegnie analogicznie.

Rozważania o podstawowych własnościach przekształcenia Fouriera zakończymy twierdzeniem dotyczącym istnienia przekształcenia odwrotnego. W tym celu jest nam potrzebny natępujący lemat.

Lemat 1:

Niech \( \hskip 0.3pc g \in L^1(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) będzie takie, że

\( \displaystyle\int_{\mathbb R^n}g(x)\,dx=1. \)

Dla \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) połóżmy

(6)

\( g_{\varepsilon }(x)={\varepsilon}^{-n} g( x/\varepsilon ). \)

Wówczas dla dowolnej ciągłej i ograniczonej funkcji \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R^n\to \mathbb C\hskip 0.3pc \) zachodzi wzór

\( \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}(g_{\varepsilon }*f)(x) =\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle \int _{\mathbb R^n}g_{\varepsilon }(x-y)f(y)dy=f(x)\quad{\rm dla}\hskip 0.5pc x\in \mathbb R^n. \)

Dowód. Stosując podstawienie \( \hskip 0.3pc u =(x-y)/\varepsilon \hskip 0.3pc \) a następnie korzystając z twierdzenia Lebesgue'a o przejściu granicznym pod całką otrzymamy

\( \begin{aligned}\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}g_{\varepsilon }(x-y)f(y)dy =&\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}{\varepsilon}^{-n}g\big((x-y)/\varepsilon \big)f(y)dy=\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0} \displaystyle\int_{\mathbb R^n}g(u)f(x-\varepsilon u)du=\\=&\displaystyle\int_{\mathbb R^n}g(u)f(x)du= f(x).\end{aligned} \)

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) będzie funkcją ograniczoną ciągłą i taką, że jej transformata \( \hskip 0.3pc \hat f\in L^1(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \).

TEZA:

Wówczas

(7)

\( f( x) =\dfrac 1{\big(\sqrt{2\pi}\big)^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{ x \cdot y i}\hat f(y)dy \)

DOWÓD:

Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc g\in L^1(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) jest wybrane zgodnie z lematem 1, ponadto jest ciągła i spełnia warunek ( 7 ) (tzn. \( \hskip 0.3pc {\mathcal F}^{-1}(\hat g)=g.\hskip 0.3pc \)) Zauważmy, że zbiór takich funkcji jest niepusty. Na przykład należy do nich funkcja

\( g(x)= e^{-(|x_1|+\ldots +|x_n|)}. \)

Dla \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) niech \( \hskip 0.3pc g_{\varepsilon }\hskip 0.3pc \) będzie dane wzorem ( 6 ). Korzystając z własności (i) z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-1 nietrudno sprawdzić, że

\( \hat g_{\varepsilon }(y) = \hat g(\varepsilon y). \)

Zauważmy ponadto, że

\( \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\hat g_{\varepsilon }(y)=\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\hat g(\varepsilon y)= \hat g(0)=\dfrac 1{(\sqrt{2\pi })^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-(|x_1|+\ldots +|x_n|)}dx_1\ldots dx_n=1/(\sqrt{2\pi})^n. \)

Wykorzystując kolejno ostatni związek, twierdzenie Lebesgue'a o przejściu granicznym, twierdzenie Tonelliego i twierdzenie Fubiniego, definicje 2 z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-2 oraz lemat 1 otrzymamy

\( \begin{aligned}\dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{{x}\cdot {y}\,i}\hat f(y) dy \,=&\,\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{{x}\cdot {y}\,i}\hat g(0)\hat f(y)dy=\\=& \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{{x}\cdot {y}\,i}\hat g_{\varepsilon }(y)\hat f(y)dy=\\=& \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{{x}\cdot {y}i}\hat g_{\varepsilon }(y) \Big(\dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n} \displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-{y}\cdot {u}\,i} f(u)du\Big)dy=\\=&\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\mathbb R^n} f(u)\Big(\dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n} \displaystyle \int_{\mathbb R^n}e^{{y}\cdot {(x- u)\,i}} \hat g_{\varepsilon }(y)dy\Big)du\\=&\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(u)g_{\varepsilon }({x-u})du = f(x). \end{aligned} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Dalsze własności transformaty Fouriera

Przykład 1:

Twierdzenie 1: Plancherel

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Uwaga 1:

Lemat 1:

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD: